Математическое моделирование

Лабораторная работа № 1

Хамди Мохаммад

Российский университет дружбы народов

2026-02-19

Вводная часть

Цель работы

  • Освоить модель экспоненциального роста и рассмотреть её математическую формулировку
  • Найти аналитическое решение соответствующего дифференциального уравнения
  • Исследовать влияние коэффициента роста \(\alpha\) с помощью параметрического анализа
  • Оценить:
    • характер изменения функции \(u(t)\)
    • зависимость времени удвоения \(T_2\)
    • особенности вычислительного процесса

Задание

  • Проанализировать модель экспоненциального роста
  • Изучить её математическое описание
  • Выполнить вычислительный эксперимент при различных значениях \(\alpha\)
  • Представить результаты в графической форме

Теория: модель

Дифференциальное уравнение

Экспоненциальная динамика описывается следующим уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Обозначения:

  • \(u\) — моделируемая величина (численность, капитал и др.)
  • \(t\) — время
  • \(\alpha\) — коэффициент роста
    • \(\alpha>0\) — увеличение
    • \(\alpha<0\) — убывание

Решение и характеристики

Общее решение:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Формула для времени удвоения:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Основные свойства модели:

  • увеличение \(\alpha\) приводит к ускорению роста
  • время удвоения становится меньше при возрастании \(\alpha\)

Эксперимент: базовый

Базовый эксперимент (α = 0.3)

  • Проанализировано поведение функции \(u(t)\) на фиксированном промежутке времени
  • Наблюдается характерное ускорение роста

Эксперимент: параметрическое исследование

Влияние α на рост

  • Проведены расчёты для набора значений:
    • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
  • При увеличении \(\alpha\) темп роста системы значительно возрастает

Время удвоения

Теоретическая формула:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

  • Полученные численные данные соответствуют теоретической зависимости
  • При увеличении \(\alpha\) время удвоения сокращается

Время вычислений

  • Проанализирована зависимость длительности расчётов от \(\alpha\)
  • Существенных изменений не выявлено

Итоги

Выводы

  • Результаты вычислительных экспериментов подтвердили теоретические положения
  • При увеличении \(\alpha\):
    • рост становится более интенсивным
    • время удвоения уменьшается
    • вычислительные затраты увеличиваются незначительно