Цель работы

• Освоить модель экспоненциального роста и рассмотреть её математическую формулировку
  
• Найти аналитическое решение соответствующего дифференциального уравнения
  
• Исследовать влияние коэффициента роста \(\alpha\) с помощью параметрического анализа
  
• Оценить:
  • характер изменения функции \(u(t)\)
    
  • зависимость времени удвоения \(T_2\)
    
  • особенности вычислительного процесса

Задание

• Проанализировать модель экспоненциального роста
  
• Изучить её математическое описание
  
• Выполнить вычислительный эксперимент при различных значениях \(\alpha\)
  
• Представить результаты в графической форме

Дифференциальное уравнение

Экспоненциальная динамика описывается следующим уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Обозначения:

• \(u\) — моделируемая величина (численность, капитал и др.)
  
• \(t\) — время
  
• \(\alpha\) — коэффициент роста
  • \(\alpha>0\) — увеличение
    
  • \(\alpha<0\) — убывание

Решение и характеристики

Общее решение:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Формула для времени удвоения:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Основные свойства модели:

• увеличение \(\alpha\) приводит к ускорению роста
  
• время удвоения становится меньше при возрастании \(\alpha\)

Базовый эксперимент (α = 0.3)

• Проанализировано поведение функции \(u(t)\) на фиксированном промежутке времени
  
• Наблюдается характерное ускорение роста

Влияние α на рост

• Проведены расчёты для набора значений:
  • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
    
• При увеличении \(\alpha\) темп роста системы значительно возрастает

Время удвоения

Теоретическая формула:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

• Полученные численные данные соответствуют теоретической зависимости
  
• При увеличении \(\alpha\) время удвоения сокращается

Время вычислений

• Проанализирована зависимость длительности расчётов от \(\alpha\)
  
• Существенных изменений не выявлено

Выводы

• Результаты вычислительных экспериментов подтвердили теоретические положения
  
• При увеличении \(\alpha\):
  • рост становится более интенсивным
    
  • время удвоения уменьшается
    
  • вычислительные затраты увеличиваются незначительно